FX - ročník prvý

... je už za nami. Tu sú jeho konečné výsledky, víťazom blahoželáme! (Prosím všiminte si, že VŠETCI riešitelia tohto ročníka FX s aspoň jedným vypočítaným príkladom sa prebojovali na Medzinárodnú Fyzikálnu Olympiádu v Singapúre. Nechajte sa inšpirovať.)

AVŠAK. To, že oficiálna súťaž je ukončená a druhý ročník FX už veselo beží, tieto nádherné, hodnotné a inšpiratívne príklady nenecháme zapadnúť prachom. Ak máte chuť sa do hociktorého z týchto príkladov pustiť a poslať nám vaše riešenie alebo popýtať sa o radu, budete vyslyšaný. Na požiadanie vám tiež pošleme aj originálne vzorové riešenie. A vôbec. Peknej fyziky nikdy nie je dosť.

FX1 - krúžok
Máme valec s polomerom r upevnený s osou v horizontálnej polohe. Na ňom je navlečený prstenec s polomerom R (pochopiteľne R > r) a hmotnosťou M. Vypočítajte periódu malých kmitov tohto prstenca (v jeho rovine), ak po valci neprešmykuje.

FX2 - rutherford
Pán Rutherford znova vytiahol zo špajze zlatú fóliu a delo alfa častíc. Vystrelil alfa časticu rýchlosťou w smerom na jadro zlata, a ona sa mu odchýlila o uhol beta (od pôvodného smeru letu). Zistite, o koľko pán Rutherford netrafil toto jadro zlata! (t.j. ako ďaleko od pôvodnej priamky letu sa toto jadro nachádzalo)

FX3 - polgule
V rámci ekonomických opatrení pred oslavou jubilejného roku 3000 sa byrokracia rozhodla skrátiť výdavky tým, že odstránia polovicu Zeme. Výkonná čata najprv rozrezala Zem na dve polgule a potom jednu z nich vymazala (príkazom delete, samozrejme).
(a) Akou silou sa tieto dve polgule priťahovali?
(b) Po vymazaní druhej polgule, aké bolo gravitačné zrýchlenie v mieste, kde sa kedysi nachádzal stred Zeme?

FX4 - minca na dne bazéna
Ujo z príkladov o minci na dne bazéna sa pozerá na mincu na dne bazéna. Vidí ju v hĺbke h a chce vedieť, v akej hĺbke sa nachádza naozaj. Stala sa mu však veľká galiba - nevidí ju totiž kolmo zhora, ako to už v takýchto príkladoch býva, ale pozerá sa na ňu pod uhlom alfa (vzhľadom na normálu hladiny). Pomôžte ujovi zrátať, v akej hĺbke sa nachádza minca naozaj!

FX5 - starcraft
Ferko a Tomáš sú zažratí do svojej obľúbenej počítačovej hry, klikajú ostošesť, stavajú armády, schyľuje sa k veľkej bitke. Tomáš posiela do boja X jednotiek, Ferko Y rovnakých jednotiek. Nájdite časový priebeh počtu jednotiek na oboch stranách, čas trvania bitky i konečný stav.
Môžete predpokladať, že obaja hráči sú skúsení - jednotky po sebe strieľajú fotónovými delami optimálnou stratégiou, a (kým sa nevykynožia) je ich veľmi veľa. Jedna jednotka stálym strieľaním zabije druhú (nebrániacu sa) za čas a.

FX6 - momentky
(a) Vypočítajte moment zotrvačnosti obdĺžnikovej dosky podľa uhlopriečky.
(b) Vypočítajte moment zotrvačnosti kocky podľa osi prechádzajúcej stredmi dvoch protiľahlých stien úplne bez použitia integrálov.
(c) Vypočítajte moment zotrvačnosti pravidelného štvorstenu podľa osi prechádzajúcej vrcholom a stredom protiľahlej steny.

FX7 - supernova
Kdesi ďaleko vybuchla supernova a obrovskou rýchlosťou vyvrhla materiál na všetky strany. Peťo tieto jej pozostatky už istý čas pozoruje so svojím ďalekohľadom. Pozná vzdialenosť supernovy D, zmeral aj uhlovú rýchlosť rozpínania jej obálky (vzďalovania pozostatkov od hviezdy) omega, a tak si jednoduchým výpočtom (v=D.omega) vypočítal, že sa obálka rozpína rýchlosťou 4/3 krát väčšou, ako je rýchlosť svetla. Akou rýchlosťou sa obálka rozpína naozaj? (Obálka supernovy sa rozpína rovnomerne.)

FX8 - james bond
James Bond sa chystá na ďalšiu akciu, kde sa musí vyšplhať na strechu vysokého domu. Zaobstaral si kotvu o hmotnosti 2 kg, ktorú dokáže vystreliť rýchlosťou 25 m/s. Kúpil si tiež horolezecké lano, ktorého jeden meter váži 100 gramov. Do akej najväčšej výšky dokáže vystreliť kotvu (s upevneným lanom, samozrejme)? Odpor vzduchu uvažovať nemusíte.

FX9 - motorová píla
Predstavte si reťaz na motorovej píle. Jej dĺžka je L, hmotnosť M a úplne bez trenia sa napnutá pohybuje rýchlosťou v okolo dvoch valčekov s polomerom r. (Predpokladajme, že valčeky sa neotáčajú.) Reťaz nijakým spôsobom nepoháňame ani nespomaľujeme.
(a) Za aký čas klesne jej rýchosť pohybu na polovičnú?
(b) Kvalitatívne popíšte (a zdôvodnite), čo sa stane s reťazou, ak by valčeky (a zvyšok motorovej píly) zrazu zmizli.

FX10 - električka
Ak vonku prší, schodíky na nástup do električky sú špinavé od blata. Keď sa však otvárajú a zatvárajú dvere, časť týchto schodíkov pri svojom pohybe poumývajú kefami pripevnenými na ich spodku. Vypočítajte tvar a plochu týchto poumývaných častí.
Pri riešní uvažujte napríklad električky Tatra T3, kde sa jedno krídlo dverí skladá z dvoch rovnakých zvislých obdĺžnikových dosiek navzájom spojených kĺbom na zvislej hrane. Voľná hrana jednej z nich je upevnená na zvislej otáčavej tyči, hrana druhej má pohyb obmedzený v rovine prechádzajúcej touto tyčou.
Všimnite si tiež horné upevnenie druhej dosky dverí. V novších modeloch električiek tu nie je fixovaný jej horný roh v rovine zatvorených dverí (obrázok), ale bod na upevnenom výstupku, pomerne ďaleko od samotných dverí (obrázok2). Čuduj sa svete, vodiaca lišta pre tento výstupok je tiež rovná. Akú polohu (vzhľadom na druhú dosku dverí) môže mať výstupok vo vodiacej lište, aby táto mohla mať tvar úsečky?