FX - ročník piaty - zima

Konečná výsledková listina FX

Zadania príkladov:

FX1 Trojuholník (opravuje Bzdušo)
Marika sa nudila na cvičeniach z matematiky. V zadnej lavici si preto z drôtu vytvarovala pravouhlý trojuholník a navliekla naň dve korálky s hmotnosťami m₁ a m₂ spojené niťou. Všetko bolo presne tak, ako to ukazuje obrázok.
(slovný popis: Pravouhlý trojuholník s rovnou základňou, pravý uhol hore, uhol vľavo rovný α. Na ľavej odvesne korálka m₁, na pravej m₂. Korálky spojené napnutým špagátom. Ostrý uhol medzi špagátom a ľavou odvesnou je označený β.)
Aká veľkosť uhla β charakterizuje rovnovážnu polohu? Je táto poloha stabilná? Aké je pri nej napätie v niti spájajúcej korálky?

FX2 Kačka (opravuje Filip)
Potom, čo sa Halucinke nepodarilo vyhrať čierne FKS tričko, rozhodla sa získať oranžovú kačku iným spôsobom. Všimla si, že jedna práve pláva v jazere okrúhleho tvaru a rozhodla sa ju uloviť. Kačka jej chce uletieť, ale k úspešnému odletu sa potrebuje odraziť od pevnej zeme. Halucinka sliedi na okraji jazera rýchlosťou v. Kačka dokáže plávať rýchlosťou najviac u. Pri akom najväčšom pomere v : u sa kačke ešte určite podarí uletieť? Ako sa pritom musí pohybovať?
Uvážte, že Halucinkino odhodlanie je najväčšie možné.

FX3 More vody (opravuje Ppershing)
Ppershinga zaujal jeden článok na webe v ktorom Google popisuje, ako sa robí mapa morského dna. Pointa je jednoduchá: Radarmi sa zmeria výška vodnej hladiny, ktorá je ovplyvnená veľkými podmorskými kopcami.
Vaša úloha je jednoduchšia: Predpokladajte, že oceán má konštantnú hĺbku H, iba na jednom mieste sa nachádza kužeľová hora s polomerom podstavy r a výškou h menšou než H. Hustota vody je ρ_₀, hustota hory ρ. O koľko sa v dôsledku gravitačného pôsobenia hory zvýši hladina vody nad jej vrcholkom?
Úlohu riešte numericky pre hodnoty r = 50 km, h = 5 km, H = 6 km, ρ₀ = 10³ kg.m₋₃, ρ = 5.10³ kg.m⁻³, G = 6,67.10⁻¹¹ N.kg⁻².m² a g = 9,81m.s⁻².

FX4 Kopec (opravuje Marika)
Marcelka sa akurát prechádzala po úpätí kopca so sklonom α, keď si všimla škaredý kameň. Rozhodla sa ho hodiť čo najďalej na kopec. Pod akým uhlom má hádzať a ako ďaleko kameň dopadne, ak dokáže hádzať maximálnou rýchlosťou v?

FX5 Duša (opravuje Jakub)
Ondro vytiahol z pivnice bicykel. Všimol si, že nenafúknutá duša na bicykel má tvar toroidu s priemermi R a r (R je väčšie ako r) a s hrúbkou h. V tabuľkách si našiel Youngov modul pružnosti E gumy. Zaujíma ma ho
a) aký tvar a aké rozmery bude mať duša, keď ju nafúkne na pretlak p,
b) aký je hraničný pretlak p_max, na ktorý môže dušu nafúknuť, ak medza pevnosti gumy je σ
Skracovanie priečneho rozmeru gumy pri pozdĺžnom predĺžení neuvažuj.

FX6 Kvadráty (opravuje Bzdušo)
Bzdušo si tento rok na matfyze zapísal predmet s názvom Termodynamika a štatistická fyzika. V spleti ťažkej matematiky si všimol niekoľko pekných a trikových úloh. Tu sú:
a) Nech x je náhodná veličina s rovnomerným rozdelením na intervale <0,1>, y náhodná veličina s rovnomerným rozdelením na intervale <0,2> a z=x+y ich súčet. Nájdite hustotu pravdepodobnosti, strednú hodnotu, stredný kvadrát a strednú kvadratickú odchýlky veličiny z.
b) Námorník si hádže mincou. Keď padne znak, spraví krok doprava. Keď padne hlava, spraví krok doľava. Ak robí kroky dĺžky a, aká je po N krokoch jeho stredná kvadratická vzdialenosť od miesta, kde začínal? Aká je po N krokoch stredná kvadratická vzájomná vzdialenosť dvoch takýchto námorníkov, ktorí sa začali hrať naraz a na tom istom mieste?
c) Určte strednú kvadratickú vzájomnú rýchlosť dvoch molekúl v plyne v závislosti od strednej kvadratickej rýchlosti jednej molekuly.
Dokážete si s týmito úlohami poradiť?