FX - ročník šiesty - zima

Výsledková listina

Zadania príkladov zimnej časti šiesteho ročníka:

FX1 Kornútok (opravuje Bzdušo)
Miška bola na prechádzke okolo jazera, keď jej zrazu doňho spadla zmrzlina. Pomôžte Miške zistiť, či zmrzlinu stihne zachrániť, alebo jej ju zjedia ryby! Zmrzlina má tvar plného homogénneho kužeľa s vrcholovým uhlom 2α a hustotou ρ. Môže plávať na vode so špicom smerujúcim kolmo dole? (t.j. je táto poloha stabilná?)

FX2 Nabitá Zem (opravuje Filip)
Boris poslal Boričom mýtov nasledujúcu otázku:
Predstavte si, že povrch Zeme nabijeme nábojom, ktorého plošná hustota závisí od uhla θ (počítaný od severného pólu) ako σ = σ₀cos&theta. Akú elektrickú intenzitu E namerajú obyvatelia na rovníku?

FX3 Klobúkový funkcia (opravuje Jakub)
Laco sa rozhodol experimentálne testovať hustotu pravdepodobnosti ρ(x) náhodnej veličiny x. Jeho teoretická predpoveď je znázornená na obrázku nižšie. Odhadnite počet meraní, ktoré musí Laco uskutočniť, aby mohol preukázať dvojhrbovosť funkcie ρ(x), ako aj počet meraní potrebný na lokalizovanie jej maxima s presnosťou δ. Aby ste to mali jednoduchšie, tu je krátky návod:

• Dokážte, že pre disperziu σ_x²=⟨(x-⟨x⟩)²⟩ platí σ_x² = ⟨x²⟩ - ⟨x⟩², kde ⟨x⟩ značí strednú hodnotu náhodnej veličiny x.
• Ukážte, že pre nezávislé náhodné veličiny x,y platí: ⟨x.y⟩=⟨x⟩.⟨y⟩.
• Uvažujte opitého namorníka kráčajúceho náhodne s fixnou dĺžkou kroku po 1-rozmernej ceste. Aký bude stredný kvadrát jeho vzdialenosti od počiatočnej polohy po 1, 2 a N krokoch?
• Priblížme sa k histogramu: Nech do jedného chlievika (binu) trafíme s pravdepodobnosťou p. Aký bude očakávaný počet zásahov do toho binu po N krokoch. Aká bude disperzia σ_zásahy² po N krokoch?
• Navrhnite počet potrebných meraní na lokalizovanie maxima funkcie s danou presnosťou δ.
• Navrhnite počet potrebných meraní na preukázanie dvojhrbovosti!

Klobúkovú funkciu môžeš považovať za známu aj so všetkými jej deriváciami. Nápomocný môže byť vzorák úlohy FX-6 z 5. ročníka súťaže.

FX4 Čata (opravuje Tinka)
Jedno skoré ráno začalo v Hornej Marikovej rovnomerne snežiť. Čata chlapov sa preto ráno o~šiestej vybrala odhrabať prístupovú cestu do dediny. Začali v dedine a postupujú ďalej po ceste, pričom pracujú rovnomerne (t.j. za jednotku času odhrnú za krajnicu rovnakú hmotnosť snehu). Počas prvej hodiny odhrabali dvakrát dlhší kus cesty, ako za druhú hodinu. Kedy začalo snežiť?

FX5 Kondenzátor (opravuje Tomáš)
Stano si v elektre kúpil doskový kondenzátor s kapacitou C, ktorý má obe platne vodivo spojené. Doma doň umiestnil vo vzdialenosti a od jednej z dosiek náboj Q. Koľko náboja pretečie ampérmetrom, keď náš náboj Q presunieme o a tak, ako je naznačené na obrázku?

FX6 Tour de Univers (opravuje Bzdušo)
Tomáš od detstva sníval o cestovaní po vesmíre, preto si po vyštudovaní matfyzu postavil vesmírnu loď. Aby bol jeho let hladký a komfortný, prvú polovicu cesty sa pohyboval s konštantým zrýchlením g a druhú polovicu s rovnako veľkým konštantným spomalením. Ako dlho trvala cesta k cieľu vzdialenému L od Zeme z pohľadu Tomáša v rakete a ako dlho z pohľadu pozorovateľa na Zemi? Ako dlho by trvalo preletieť vzdialenosť 10⁹ svetelných rokov, čo je približne polomer viditeľnej časti vesmíru?