FX - ročník siedmy - leto

Výsledková listina

Zadania príkladov letnej časti siedmeho ročníka:

FX7 Vodiče (opravuje Džony)
Janči vzal dva nekonečne dlhé nemagnetické vodiče s prierezom tvaru "mesiačika" (geometricky sú zadané pomocou dvoch naznačených kružníc, ktorých stredy sú vo vzdialenosti d od seba) a nechal nimi tiecť prúdy smermi naznačenými na obrázku. Vodiče sú navzájom izolované a prúd v oboch je rovnomerne distribuovaný naprieč ich prierezom, plošná hustota prúdu je j. Aké je magnetické pole B(x,y) v dutine medzi vodičmi?

FX8 Zavináč (opravuje Jakub Ko.)
Jakub urýchlil časticu s hmotnosťou m a nábojom q>0 a nechal ju vojsť do bublinovej komory s homogénnym magnetickým poľom B=[0,0,B], kde je brzdená odporovou silou F=-kv. Z poznatku, že v čase t=0 sa častica nachádzala v bode O=[0,0,0] a pohybovala sa rýchlosťou v=[0,v_0,0], určite

• veľkosť rýchlosti častice v závislosti od času,
• prejdenú dráhu častice v závislosti od času,
• čas, kedy podľa Heisenbergovho princípu neurčitosti častica zastaví (t.j. kedy nebudeme môcť určiť, či sa ešte pohybuje),
• polohu bodu A, kde častica zastaví,
• polohu bodu B, kde sa častica nachádza najďalej od osi x,
• polohu bodu C, kde sa častica nachádza najďalej od osi y.

FX9 Retiazka (opravuje Matej)
Paľo si na okraji stolíka s výškou h nechal položenú (voľne zmotanú) retiazku dĺžky L. Ponáhľal sa však na skúšku a tak si nevšimol, že jeden jej koniec prevísa cez okraj a akurát sa dotýka zeme. Za aký čas spadne celá retiazka na zem?

FX10 Brvno (opravuje Martin)
Cez brvno tvaru valca je prehodený špagát, na konci ktorého visí teleso s neznámou hmotnosťou m. Na to, aby teleso nezačalo padať, musíme pôsobiť silou aspoň F₁. Ak chceme teleso zdvíhať, treba pôsobiť silou aspoň F₂ > F₁. Určte neznámu hmotnosť závažia, ako aj koeficient trenia medzi špagátom a brvnom.

FX11 Kužeľ (opravuje Jakub)
Aďa má pevne uchytený plášť kužeľa (bez podstavy) s vrcholovým uhlom 2α a osou rovnobežnou s g tak, že vrchol je jeho najnižším bodom. Po jeho vnútri chce roztočiť guľôčku s hmotnosťou m, polomerom r a momentom zotrvačnosti I=(2/5)mr² tak, že množina dotykových bodov plášťa kužeľa (body, ktoré niekedy prichádzajú do kontaktu s guľôčkou) budú tvoriť vodorovnú kružnicu s polomerom L. Množina dotykových bodov guľôčky bude tvoriť tiež kružnicu (nie nutne s polomerom r). Aký má byť tento polomer ak Aďa chce, aby guľôčka obehla dookola plášťa kužeľa za čo najkratší čas? Predpokladajte, že r je omnoho menšie ako L.


FX12 Displej (opravuje Bzdušo)
Odporúčame stiahnuť si aj zadanie vo formáte PDF obsahujúce doplňujúce poznámky a prehľadnejšie rovnice.
V tejto úlohe sa v krátkosti zoznámime s tekutými kryštálmi a ukážeme si zjednodušený model fungovania LCD (liquid crystal display). Ako naznačuje ich názov, ide o zvláštne skupenstvo hmoty, ktorého vlastnosti sú niekde medzi vlastnosťami kryštálov a tekutín. V čom?

Molekuly tekutín t.j. (kvapalín a plynov) sú v priestore rozmiestnené chaoticky, rovnako tak je náhodná aj orientácia týchto molekúl. V kryštáloch sa molekuly usporadúvajú do pravidelnej mriežky, ich poloha ako aj orientácia sú pravidelné. Molekuly tekutých kryštálov, ktoré možno dosť dobre modelovať ako podlhovasté elipsoidy, sú v priestore chaoticky rozmiestnené (t.j. ako v kvapaline) no ich orientácia je rovnaká (t.j. pravidelná, ako v kryštáli).

Z uvedených vlastností priamo vyplývajú aj vlastnosti týchto skunpenstiev pri deformovaní. Kryštály sú tuhé voči skrúteniu i strihu, pričom energiu deformácie možno všeobecne vyjadriť ako E_elast.=½Ku², kde K je zovšeobecnená tuhosť a u veľkosť deformácie. Tuhosť je dôsledkom vychýlenia atómov z rovnovážnych polôh. Opačným extrémom sú kvapaliny, v ktorých sklz ani skrútenie nestoja žiadnu energiu. Tekuté kryštály sú opäť kdesi uprostred. Strih nestojí žiadnu energiu, skrútenie však áno. Je to spôsobené tým, že pri skrútení sa narúša ideálne rovnobežné naorientovanie susedných molekúl.

Pri LCD sa využíva ďalšia vlastnosť tekutých kryštáľov, ktorou je ich polarizácia vo vonkajšom elektrickom poli. Energia tekutého kryštálu vo vonkajšom elektrickom poli je daná vzťahom

kde α je uhol medzi elektrickým poľom. Zo vzťahu vyplýva, že v elektrickom poli sa energia minimalizuje naorientovaním molekúl do smeru siločiar tohto poľa.

Posledná vlastnosť, ktorú treba na pochopenie LCD poznať, je skutočnosť, že molekuly tekutých kryštálov prepúšťajú iba svetlo polarizované v smere ich hlavnej osi. S týmito vedomosťami sa môžeme pustiť do samotnej úlohy.\medskip

V LCD je tekutý kryštál uzavretý v priehradke dĺžky L, ktorá je zozadu osvetlená zdrojom. Kvôli povrchovým silám je orientácia okrajových molekúl fixovaná. V prípadne neprítomnosti vonkajšieho poľa sú teda všetky molekuly rovnobežné, ako znázorňuje ľavý z dvojice nasledujúcich obrázkov. V tomto prípade svetlo prichádzajúce zľava prejde priehradkou a tá sa javí ako jasný pixel. Po zapnutí elektrického poľa je pre molekuly energeticky výhodné sa naorientovať do smeru tohto poľa, čo bráni svetlu prejsť naprieč priehradkou a príslušný pixel sa javí ako tmavý. Vzhľadom na fixovaný smer okrajových molekúl však po zapnutí poľa nutne dochádza k deformácii. Systém sa teda snaží minimalizovať celkovú energiu

kde θ(x) je odchýlka osi molekúl oproti stavu s nulovým elektrickým poľom.

Ukazuje sa, že existuje kritická hodnota elektrického poľa E_c taká, že pre E < E_c nedochádza k žiadnej deformácii tekutého kryštálu -- všetky molekuly zostanú rovnobežné. Pre E = E_c+δE, δE << E_c dochádza iba k malým deformáciam a svetelnosť pixelu je len málo modulovaná.

Vaše úlohy sú nasledovné:

• Kvalitatívne odvoďte vyššie uvedený vzťah pre celkovú energiu tekutého kryštálu v priehradke,
• nájdite kritickú hodnotu elektrického poľa E_c, nad ktorou dochádza k deformácii tekutého kryštálu,
• Nájdite priebeh deformácie θ(x) pre E=E_c+δE, δE << E_c. Využite, že pre malé výchylky platí sin x ≅ x² -¹⁄₃x⁴.

Pri druhej a tretej otázke sa vám zíde analógia s klasickou mechanikou, kde je účinok definovaný ako integrál lagrangeovej funkcie podľa času, t.j.

kde x je zovšeobecnená súradnica (napr. dĺžka alebo uhol). V klasickej mechanike sa ukazuje, že účinok sa pri daných okrajových podmienkach x(t₁), x(t₂) extremalizuje pre taký pohyb x(t), ktorý je riešením tzv. Eulerovej-Lagrangeovej rovnice

Zvedavejší z vás si na rôznych systémoch môžu preveriť, že pre L = E_kin. - E_pot. táto diferenciálna rovnica skutočne reprodukuje výsledky newtonovskej mechaniky.

Naše zjednodušenie oproti skutočnosti spočíva v tom, že sme zvolili fixovanú orientáciu okrajových molekúl ako rovnobežnú. V skutočnosti sú tieto orientácie na seba kolmé, čo však značne komplikuje výpočty no neprináša prevratné zistenia. Pre lepšie pochopenie mechanizmu odporúčame pozrieť si nasledovné video na YouTube: