FX - ročník siedmy - zima

Výsledková listina

Zadania príkladov zimnej časti siedmeho ročníka:

FX1 Tyčka (opravuje Janči)
Maťo má v záhrade tyčku homogénne nabitú elektrickým nábojom. Koncové body tyčky označme ako A, B. V bode C, mimo tyčky, sa nachádza pozorovateľ. Dokážte, že vektor elektrickej intenzity v tomto bode je rovnobežný s osou uhla ACB.


FX2 Drvivý dopad (opravuje Jakub Ko.)
Poznáte to z televízie. Do Mesiaca vpáli jadro hnedého trpazlíka o dvojnásobku hmotnosti Zeme. V následnom šoku zostanú Zem i jej obežnica stáť na mieste a v dôsledku gravitácie sa na seba začnú rútiť. Koľko času života zostáva ľuďom, pokiaľ ich nezachráni akčný americký hrdina?
Zdroj: Impact (2008). Chybné simulácie prezentované vo filme neuvažujte!


FX3 Pásik (opravuje Bzdušo)
Pamätáte si úlohu o nekonečnom rebríku postaveného z rezistorov s odporom R? Táto úloha je ambicióznejšia.

• Aký je odbor R₁(N) konečného rebríka s N priečkami medzi bodmi vyznačenými na obrázku?
• Aký bude odpor R₂(N) tohto rebríka medzi koncami (ľubovoľnej) priečky, ak konce rebríka spojíme do tvaru Möbiovho pásika?

V oboch prípadoch očakávame ako výsledok analytický výraz závisiaci od N. Získať ho samozrejme nie je jednoduché, preto sa nebojte pri výpočtoch využívať matematické softvéry ako Mathematica či Wolfram Alpha. Oceníme aj numerické výsledky, ktoré vám môžu priniesť vhľad do problému.

FX4 Šošovky (opravuje Marika)
Dve tenké šošovky s optickými mohutnosťami D₁ a D₂ sú umiestnené vo vzdialenosti L = 25 cm od seba. Táto sústava vytvára priamy, skutočný obraz predmetu umiestneného na optickej osi bližšie k šošovke 1 so zväčšením Γ_A = 1. Ak polohy šošoviek zameníme, vznikne priamy, skutočný obraz so zväčšením Γ_B = 4. Určte typ oboch šošoviek a rozdiel Δ D = D₁ - D₂ optických mohutností šošoviek!


FX5 Pád telesa (opravuje Marcelka)
Odporúčame stiahnuť si aj zadanie vo formáte PDF obsahujúce doplňujúce poznámky a prehľadnejšie rovnice.
V tejto úlohe sa pozrieme na zub voľnému pádu na zem. Pád bude prebiehať z výšky h nad povrchom (merané zvislo, t.j. v smere tiaže) nad miestom so zemepisnou šírkou &$966. Zavedieme lokálne súradnice s počiatkom v mieste na povrchu, sponad ktorého púšťame teleso, pričom z-ovú os volíme zvislo nahor, x-ovú smerom na západ a y-ovú smerom juh. V týchto súradniciach v neinerciálnej rotujúcej sústave je pohyb hmotného bodu počas pádu daný pohybovou rovnicou
d²r/dt² = g₀ − Ω × [Ω × (R+r)] − 2Ω × (dr/dt),
kde g₀ je vektor gravitačného zrýchlenia ako funkcia vektora r udávajúceho polohu v nami zavedenej vzťažnej sústave, R je vektor od osi otáčania Zeme (napr. od stredu Zeme) do počiatku našich lokálnych súradníc a Ω značí vektor uhlovej rýchlosti rotácie Zeme.

Budeme uvažovať pád z dostatočne malej výšky na to, aby sme tiaž mohli považovať za homogénnu, výsledná rovnica teda bude
d²r/dt² ≅ -ge_z − 2Ω n × (dr/dt),      (1)
kde g je veľkosť tiaže pre danú zemepisnú šírku φ. Ďalej si uvedomíme, že veľkostne je druhý člen v predošlej rovnici pre bežné výšky pádu h (a teda pre bežné rýchlosti pádu dr/dt) v hlbokom tieni svojho prvého brata. Preto je na mieste nazdávať sa, že pohyb padajúceho telesa bude len málo odlišný od voľného pádu bez započítania Coriolisovej sily. V takýchto prípadoch je užitočné navrhnúť riešenie úlohy v tvare mocninného radu v malom (tzv. poruchovom) parametri Ω,
r(t) = Ω⁰ r₀(t) + Ω¹ r₁(t) + Ω² r₂(t) + Ω³ r₃(t) + ... ,
čo je matematicky zapísaná predstava, že očakávame riešenie úlohy spojité v parametri Ω. Keď takto navrhnuté riešenie dosadíme do rovnice (1) a požadujeme jej splnenie v každom ráde, tak sa rovnica rozpadne na ľahko riešiteľnú sústavu rovníc, ktoré možno postupne riešiť,
Ω⁰:    d²r₀/dt² = -g e_z,
Ω¹:    d²r₁/dt² = -2n × dr₀/dt,
Ω²:    d²r₂/dt² = -2n × dr₁/dt,
Ω³:    d²r₃/dt² = -2n × dr₂/dt,
...
Vašou úlohou bude spočítať odchýľku miesta dopadu do druhého rádu.


FX6 Vymŕzanie (opravuje Bzdušo)
Odporúčame stiahnuť si aj zadanie vo formáte PDF obsahujúce doplňujúce poznámky a prehľadnejšie rovnice.
V termodynamike sa hovorí, že na každý stupeň voľnosti systému pripadá v priemere energia ½kT. Samotné stupne voľnosti sa však definujú iba vymenovaním, t.j. povie sa že

• jednoatómová molekula plynu (napr. He, Ne, Ar) má tri stupne voľnosti za nezávislé pohyby v smere osí x,y,z,
• lineárna molekula plynu (napr N₂, O₂, H₂, CO₂; modelujeme ju ako guľôčky spojené nehmotnými pevnými paličkami) má dva stupne voľnosti navyše za rotácie okolo osí s väčším momentrom zotrvačnosti,
• nelineárna viacatómová molekula plynu (napr. H₂O, NH₃, CH₄; opäť sa predpokladajú pevné väzby) má stupeň voľnosti aj za rotáciu okolo tretej osi,
• na každý oscilátor pripadajú dva stupne voľnosti (jeden za kinetickú a jeden za potenciálnu energiu).

Tak v jednotlivých prípadoch je stredná hodnota energia jednej molekuly pri teplote T postupne rovná (i) (3/2)kT, (ii) (5/2)kT, (iii), 3kT a (iv) kT.
Tu by sa mal každý rozumne zmýšľajúci človek ťuknúť do hlavy, že niečo tu nesedí. Veď molekuly nemajú pevné väzby! Namiesto toho všetky atómy kmitajú okolo rovnovážnych polôh. Prečo teda neuvažujeme v prípade dvojatómových molekúl aj dva stupne voľnosti za kmitanie? A prečo jej zakazujeme rotovať okolo tretej osi? Ešte zaujímavejšie sa zdá byť, že experimentálne merané počty stupňov voľnosti často nie sú celé čísla a navyše klesajú so zmenšovaním teploty. Posledne uvedený jav sa nazýva vymŕzanie stupňov voľnosti. Ľudia jeho podstatu pochopili až po sformulovaní kvantovej mechaniky. Vy to môžete skúsiť tiež.

Aby ste problém vyriešili, vezmite ako fakt Boltzmannov zákon, že pravdepodobnosť systému nachádzať sa v stave j je úmerná e^−E(j)/kT$, kde E(j) je energia systému v tomto stave. Najprv predpokladajte platnosť klasickej fyziky, kde môžu všetky diskutované veličiny nadobúdať spojite ľubovoľné hodnoty a presvedčte sa, že vtedy naozaj

• na pohyb v smere každej osi pripadá stredná hodnota energie ½kT,
• na rotáciu okolo každej z troch osí pripadá stredná hodnota energie ½kT,
• na harmonický oscilátor pripadá stredná hodnota celkovej energie kT.

Z kvantovej mechaniky však vyplýva, že niektoré fyzikálne veličiny v niektorých systémoch sú kvantované, zatiaľ čo iné nie. Napríklad energia za posuvný pohyb môže byť hocijaká, preto tu vyjde stredná hodnota energia posuvného pohybu rovnaká ako v klasickej teórii. Vo zvyšných uvedených prípadoch však nastanú nasledovné zmeny:

• Podľa kvantovej mechaniky môže energia rotujúcej paličky s momentom zotrvačnosti I (vzhľadom na os kolmú na paličku) nadobúdať diskrétne hodnoty J(J+1)ℏ²/2I, kde J sú nezáporné celé čísla. Každej z týchto energií pritom zodpovedá 2J+1 rôznych stavov. Numericky zistite, ako závisí stredná hodnota rotačnej energie na teplote a určte, pri akej teplote dochádza k vymŕzaniu rotačných stupňov voľnosti.
• Podľa kvantovej mechaniky môže energia oscilátora s uhlovou frekvenciou ω nadobúdať diskrétne hodnoty ℏω(n+½), kde n je opäť nezáporné celé číslo. Exaktným výpočtom zistite, ako závisí stredná hodnota energie oscilátora od teploty a zistite, pri akej teplote dochádza k vymŕzaniu oscilačných stupňov voľnosti.

Počet stupňov voľnosti s definujte vo všetkých prípadoch vzťahom
⟨E⟩ = (s/2) kT.

Výpočty robte pre molekulu dusíka. Hodiť sa vám môžu nasledovné veličiny: Planckova konštanta ℏ = h/2π = 1,06·10^-34 J.s,, Boltzmannova konštanta k = 1,38·10^-23 J.K^-1, dĺžka väzby v molekule N₂ a = 1,1·10^-10 m, polomer jadra atómu dusíka r = 6,5·10^-15 m, hmotnosť atómu dusíka m = 2,32·10^-26 kg a rezonančná frekvencia molekuly dusíka ω = 3,1·10¹⁴ Hz.