FX - ročník ôsmy - zima

Výsledková listina

Zadania príkladov zimnej časti ôsmeho ročníka:

FX1 Ľad (opravuje Tomáš)
Počas ukrývania sa pred letnými horúčavami vzkrsol Tomášovi v hlave nápad. Zaujíma ho, koľko najmenej práce je potrebnej na vyrobenie 1 kg ľadu pri izbovej teplote 20°C. Pomôžte mu! Merná tepelná kapacita vody je 4,18 kJ.K⁻¹.kg⁻¹, skupenské teplo topenia ľadu je 334 kJ.kg⁻¹.


FX2 Hysteréza (opravuje Jakub)
Kaja má magnet pozostávajúci z jedinej domény, z materiálu, ktorý má 1 os ľahkej magnetizácie (v tomto smere je tá jediná doména rada zmagnetizovaná). Ak vloží tento magnet do magnetického poľa H, ktoré zviera s osou ľahkej magnetizácie uhol α, tak energia systému pole+magnet pre natočenie magnetizácie magnetu o uhol θ od osi ľahkej magnetizácie sa dá napísať v tvare

kde J považujeme za konštantu charakterizujúcu materiál magnetu, nazýva sa intenzita magnetizácie (prípadne aj magnetická polarizácia). Ukážte, že pri fixovanom uhle α a menení H vykáže Kajin magnet hysterézu v magnetizácii v smere ľahkej osi!


FX3 Kyvadlo (opravuje Džony)
Braňo má kyvadlo pozostávajúce z hmotného bodu m upevneného na konci nehmotnej paličky dĺžky L. Opačný koniec paličky vykonáva vďaka motorčeku pohyb vo zvislom smere podľa rovnice

kde y_m<<L. Braňo s úžasom zistil, že ak je frekvencia motorčeka ω dostatočne veľká a pokiaľ je kyvadlo v počiatočnom stave takmer "hore nohami", tak potom, prekvapivo, počas svojho pohybu nespadne nadol. Namiesto toho bude vykonávať svojský druh oscilácií okolo zvislej polohy.

• Vysvetlite, prečo Braňova palička nespadne.
• Numericky preskúmajte, pre akú oblasť bezrozmerných parametrov ŷ_m=y_m/L a ŵ=ω/ω₀, kde ω₀=√ g/L , je poloha kyvadla v obrátenej polohe stabilná.
• V priblížení ŵ >> 1/√ ŷ_m  nájdite analytický vzťah pre periódu oscilácií paličky okolo obrátenej zvislej polohy.

FX4 Rýchlochôdza (opravuje Jakub Ko.)
Na planéte Tatooine sa každoročne koná kybernetická súťaž v rýchlochôdzi robotov. Roboty majú dve nohy, silné motory a sú postavené z naozaj odolných materiálov. Podľa pravidiel sa za chôdzu považuje taký pohyb, pri ktorom robot v každom okamihu stojí na zemi aspoň jednou nohou -- a to podľa každého z obrovského množstva rozhodcov, ktorí sa vzhľadom na seba pohybujú relativistickými rýchlosťami. Akou najväčšou rýchlosťou sa môžu roboty pohybovať, aby neporušili pravidlá súťaže?


FX5 Trojuholník (opravuje Janči)
Andrej vzal drôt s konštantným dĺžkovým odporom a vytvoril z neho elektrickú sieť pozostávajúcu z nekonečne veľa do seba vpísaných rovnostranných trojuholníkov. Určte odpor medzi vrcholom A najväčšieho trojuholníka a vrcholom B najmenšieho trojuholníka v limite nekonečne veľkého počtu trojuholníkov. Odpor strany najväčšieho trojuholníka je R.

FX6 Bublina (opravuje Petrík)
Kaťa sa rada hrá s bublinami. Raz vytvorila mydlovú blanu na kruhových diskoch polomeru r, ktoré boli vo vzdialenosti d od seba a ktorých osi ležali na jednej priamke (pozri obrázok). Katke nedajú spať dve otázky.

• Aký je tvar mydlovej blany medzi kruhmi?
• Pre aký najväčší pomer d/r môže takáto mydlová blana stabilne existovať?

Pomôžte jej!