FX

Výsledková listina po poslednej, 4. sérii.

Jarná škola FX 2014 -- fotky, materiály etc na tejto stránke.

Zadania príkladov zimnej časti deviateho ročníka

Každé narodeniny dostáva Kubus ako darček od svojich kamatárov rôzne veľké a rôzne ťažké homogénne kocky. Keď ich hodí do vody, niektoré plávajú na povrchu a niektoré klesnú na dno. Všimol si však aj to, že rovnovážna orientácia plávajúcich kociek sa rôzni. Pomôžte Kubusovi zistiť, ako závisí rovnovážna orientácia plávajucej kocky na jej hustote!

Vlejd našiel v pivnici veľkú kopu dosiek štvorcovej podstavy a rozhodol sa postaviť si z nich komín. Dosky naukladal na seba, pričom každá doska je so susednými zlepená párom tenkých drevených pásikov (čierne plôšky na obrázku sú ich priečne rezy). Keď bolo dielo hotové, nedopatrením doň šťuchol a komín sa začal prevracať. V akej výške sa počas pádu komín zlomí? Predpokladajte, že výška komína $H$ je omnoho väčšia ako jeho šírka $w$.

V auguste tohto roku skončila misia Kepler po tom, ako zlyhalo otáčacie zariadenie na smerovanie tohto ďalekohľadu. Za 4 a pol roka svojej existencie sa postarala o viacero vzrušujúcich objavov týkajúcich sa planét obiehajúcich okolo vzdialených hviezd. Aj vďaka misii Kepler máme dnes potvrdenú existenciu viac ako tisícky tzv. extrasolárnych planét. Hnacou silou je honba za planétou podobnou Zemi: Podobných rozmerov, podobného zloženia a nachádzajúcu sa v tzv. obývateľnej zóne, kde teplota dosahuje pre život vhodné hodnoty. Misia Kepler používala na hľadanie planét tzv. tranzitnú metódu, ďalšou zaužívanou metódou je tzv. dopplerovská spektroskopia.

Ako príklad budeme uvažovať planétu HD 209458 b, ktorá obieha okolo hviezdy podobnej Slnku. Spektrálnymi metódami vieme určiť teplotu hviezdy $T_\textrm{h}=6000\,\textrm{K}$. Paralaxovou metódou vieme určiť jej vzdialenosť $d_\textrm{h}=154\,\textrm{ly}$. Z Planckovho zákona pre vyžarovania čierneho telesa vieme možno určiť polomer hviezdy $R_\textrm{h}\approx 1{,}14 R_{\unicode{9737}}$. Z teórie potom vieme odhadnúť aj hmotnosť hviezdy $M_\textrm{h} \approx 1{,}13 M_{\unicode{9737}}$.

Niekedy máme to šťastie, že planéta inej hviezdy sa počas svojho pohybu občas nachádza medzi Zemou a touto hviezdou. O existencii planéty sa vtedy môžeme presvedčiť tak, že občas pozorovaná svietivosť hviezdy v dôsledku zákrytu nepatrne klesne. Planéta HD 209458 b patrí medzi tieto šťastné prípady.

1. Tranzit tejto planéty trvá asi $3$ hodiny a opakuje sa každých $3{,}52$ dňa. Počas tranzitu klesá pozorovaná svietivosť (celkový výkon) hviezdy o $1{,}7\,\%$. Určte na základe týchto údajov polomer planéty a jej orbity.
2. Zo znalosti orbity planéty a teploty materskej hviezdy určte priemernú teplotu na planéte.
3. Ak by obyvatelia inej hviezdnej sústavy pozorovali našu slnečnú sústavu, aký dlhý a aký výrazný tranzit by pozorovali v prípade Zeme a v prípade Jupitera?

Pre väčšiu impresívnosť treba poznamenať, že družica Kepler dokázala vyše 4 roky simultánne merať svietivosť asi $100\,000$ hviezd každú minútu s relatívnou presnosťou $10^{-2}$—$10^{-4}$.

Pokiaľ je planéta dostatočne hmotná a má malú orbitu, o jej prítomnosti sa možno presvedčiť aj pomocou Dopplerovho javu. Keďže planéta a hviezda obiehajú okolo spoločného ťažiska, aj hviezda sa trochu „hompáľa“ a jej spektrum sa posúva. Planéta HD 209458 b bola pôvodne objavená práve takto.

4. Experimentálne sa zistila amplitúda rýchlosti materskej hviezdy smerom k zemi $82\,\textrm{m.s}^{-1}$. Aká je hmotnosť planéty?
5. Akou rýchlosťou sa pohybuje Slnko v dôsledku prítomnosti Jupitera a akou v dôsledku prítomnosti Zeme?

Nasledujúci graf znázorňuje v logaritmickej škále hmotnosť a polomer vesmírnych objektov doposiaľ objavených tranzitnou metódou. Zahŕňa terestriálne planéty, plynových obrov, hnedých trpaslíkov a hviezd.

6. Všimnite si, že polomer planét dosahuje svoj extrém niekde pri hmotnosti Jupitera a pre ďalší nárast hmotnosti je polomer relatívne konštantný. Ako by ste vysvetlili toto pozorovanie?
7. Aká závislosť hustoty od tlaku $\rho(p)$ dokáže popísať namerané charakteristiky gravitujúcej hmoty?

Cez valec je symetricky prehodená reťaz dĺžky $L$. Keďže trenie medzi valcom a reťazou je nulové, reťaz sa začne spontánne zosúvať. Aká bude rýchlosť reťaze v čase, keď nadobudne tvar úsečky? Predpokladajte, že polomer valca je oproti dĺžke reťaze zanedbateľný.

Uvažujte obdĺžnikovú dosku zo supravidového materiálu, ktorej hmotnosť je $m$. Doska obsahuje štyri identické kruhové otvory s polomerom $R$, jeden pri každom rohu vo vzdialenosti $\Delta$ od okraja. Každým výrezom prechádza nejaký (pre všetky výrezy rovnaký) tok magnetického poľa. Túto dosku umiestnime nad veľkú horizontálnu podložku, ktorá je taktiež v supravodivom stave. Magnetické pole uväznené v otvoroch spôsobuje, že doska zostane levitovať vo výške $d$ nad podložkou, pričom $d\ll R,\Delta$.

Doska dokáže vykonávať malé kmity vo vertikálnom smere s frekvenciou $f_0$. Aká bude perióda týchto kmitov, ak dosku zaťažíme dodatočnou hmotnosťou $M$?

Hint: Supravodiče vypudzujú zo svojho objemu všetko magnetické pole. Magnetický tok otvormi je preto „uväznený“ a na jeho zmenu je potrebné zahriať supravodič do normálneho stavu. Odtienenie magnetického poľa z objemu sa zabezpečuje povrchovými prúdmi. Do istej miery je to analogické vodičom, ktoré zo svojho objemu odtienujú elektrické pole, čo sa dosahuje povrchovou hustotou náboja. Postup „elektrického zrkadlenia“ na vodiči má taktiež svoju analógiou v „magnetickom zrkadlení“ na supravodiči.

Navigácia GPS pozostáva z najmenej 24 satelitov, ktoré obiehajú okolo Zeme vo vzdialenosti $h=26\,600\,\textrm{km}$ od jej stredu rýchlosťou $v\sim 3{,}9\,\textrm{km.s}^{-1}$. Všetky satelity si so sebou nesú atómové hodiny a sú vzájomne zosynchronizované. V istých časových intervaloch satelity simultánne vysielajú signál, ktorý obsahuje informáciu o ich orbitálnej polohe a čase vyslania signálu. Využitím tejto informácie z viacerých satelitov dokáže prijímač na Zemi určiť svojhu polohu. V tejto úlohe si ukážeme, že na správne fungovanie navigácie je potrebné zahrnúť relativistické korekcie.

Podľa Einsteinovho princípu ekvivalencie je zrýchľujúca vzťažná sústava nerozlišiteľná od pokojnej sústavy nachádzajúcej sa v homogénnom gravitačnom poli.

1. Pomocou výpočtov v zrýchľujúcej sústave ukážte, že čas v gravitačnom poli sa spomaľuje. Konkrétne odvoďťe, že v slabom homogénnom gravitačnom poli ($gH\ll c^2$) platí pre podiel tikania identických hodín vo výškach $h=0$ a $h=H$ $$ \frac{T_H}{T_0}=1-\frac{gH}{c^2}, $$ kde $g$ je gravitačné zrýchlenie. Obom hodinám trvá, samozrejme, tiknutie vo svojej vzťažnej sústave rovnako dlho. Rozdiel je pozorovateľný, ak sa na obe hodiny nahliada v jedinej vzťažnej sústave.

Dá sa ukázať, že v nehomogénnom gravitačnom poli, napr. radiálnom gravitačnom poli Zeme, sa predošlý vzťah zovšeobecňuje na

kde $\phi$ je rozdiel gravitačných potenciálov medzi bodmi $1$ a $2$.

2. Zistite, o koľko sa rozladia atómové hodiny od pozemských v priebehu jedného dňa v dôsledku špeciálnej relativity (obeh hodín okolo Zeme) a v dôsledku gravitačného poľa.

Tento problém sa dá vyladiť, ak na orbitu vynesieme atómové hodiny tikajúce pomalšie.

3. Odhadnite, aká by bola nepresnosť určenia našej polohy na Zemi po jednom dni od spustenia navigácie, ak by sme atómové hodiny na orbite nevyladili.