FX - ročník tretí

Príklady a vzorové riešenia tretie ročníka FX nájdete v .pdf verzii v tabuľke vyššie, textová verzia bez obrázkov nižšie.

Konečná výsledková listina:

Zadania príkladov:

FX1 - lano
Horolezec Tomáš zliezol dokonale hladkú horu tvaru kužeľa s vrcholovým uhlom 2α, ale zabudol si na nej navlečenú kruhovú slučku lana hmotnosti m. Akou silou je napínaná táto slučka?

FX2 - guľka
Máme vodivú izolovanú guľovú škrupinu nabitú nábojom Q. Peťo má bodový náboj rovnakej veľkosti a chce si ho niekam odložiť. Nájdite všetky jeho možné polohy v priestore také, že naň nepôsobí žiadna sila.

FX3 - svetlomety
Bzdušo má stôl tvaru štvorca a chystá sa ho osvetliť zdrojom so svietivým výkonom P, a to dokonca takým, čo žiari do všetkých smerov rovnako. Týmto zdrojom sa blíži k rohu stola troma rôznymi spôsobmi (viď obrázok). Pri každom z nich vypočítajte hodnotu ku ktorej sa blíži svietivý výkon dopadajúci na stôl, keď sa zdroj blíži k rohu stola. (Všetky hrany na obrázku okrem šípok sú rovnako dlhé a uhly medzi nimi pravé, útvary na obrázku sú teda kocky. Šípky naznačujú smer pohybu zdroja. Stôl je vyznačený šedo.)
[slovný popis obrázku: predstavme si, že stôl je spodnou podstavou kocky. v prvom obrázku sa blížime k rohu po telesovej uhlopriečke. v druhom obrázku po hrane kocky kolmo nadol. v treťom obrázku po dráhe, ktorá je osovo súmerná s prvou dráhou podľa druhej.]

FX4 - špirála
Fajo našiel vo vesmíre dlhý a veľmi ťažký valec s polomerom r. Na jeho plášti bol uviazaný špagát s voľnou dĺžkou L, s malým kamienkom pripevneným na druhom konci. Ako správny fyzik, Fajo natiahol špagát tak, aby sa uviazaným koncom práve dotýkal valca, a kamienku udelil rýchlosť v kolmú na špagát tak, aby sa začal namotávať v rovine kolmej na os valca. Za aký čas sa špagát úplne namotá na valec?

FX5 - stavebnica
Marcelka dostala na narodeniny sadu bodových nábojov veľkosti Q a k nim všakovaké väzby. Hneď sa pustila do všelijakých experimentov a má na vás tieto otázky.
a) Dva náboje fixujeme v priestore a tretí necháme voľne pohybovať po nimi danej priamke. Aká je jeho perióda kmitov v rovnovážnej polohe?
b) Štyri náboje fixujeme vo vrcholoch štvorca, piaty necháme voľne pohybovať v nimi danej rovine. Nájdite jeho periódu kmitov v strede štvorca.
c) Vymyslite konfiguráciu fixovaných nábojov v priestore tak, aby vznikla stabilná rovnovážna poloha pre ďalší náboj, a vypočítajte jeho periódu kmitov v nejakom smere.

FX6 - romantička
Bea nedávno čítala Malého Princa a rozhodla sa, že aj jej sa veľmi páčia západy slnka. Aby jej však nezovšedneli a aby si ich patrične vychutnala, odsťahovala sa na severný pól. Tam je totiž západ slnka len raz za rok, a navyše trvá sakramentsky dlho. Ozaj, ako dlho?

FX7 - hmota
Marián si kúpil asteroid s objemom V z plastickej hmoty o hustote ρ, a v priestore si vyznačil bod B. Ako má tento asteroid vytvarovať a kam ho má umiestniť, aby bolo v bode B čo najväčšie gravitačné pole? Aká by bola veľkosť tohto gravitačného poľa, ak by parametre V a ρ asteroidu boli zhodné s týmito parametrami Zeme?

FX8 - balvan
Kubík našiel v Tatrách veľký balvan. Našiel si na ňom veľkú hladkú plochu a na ňu si nakreslil malý štvorec ABCD so stranou a. Keď medzi body A a B pustil prúd I, medzi bodmi C a D nameral napätie U. Aký je merný elektrický odpor balvanu?

FX9 - búrka
Matúš práve sedel na lúke a počítal fyziku, keď sa zrazu prihnala veľká búrka. Počas búrky do zeme náhodne udierajú blesky, pričom na kilometer štvorcový za celú búrku priemerne udrie ρ bleskov. Aká je priemerná hodnota vzdialenosti Matúša a miesta, kde udrel k nemu najbližší blesk?
Pri riešení sa vám môže hodiť všeobecne známy fakt, že integrál e^(-x^2) od 0 po nekonečno je polovica odmocniny z pí.

FX10 - guľa
Víla Amálka si svoju krištáľovú guľu položila na veľký stôl pokrytý obrusom. Keď mala slávnostnú náladu, veľkolepo strhla obrus zo stola (vodorovným pohybom). Aká bude rýchlosť gule po tom, ako na stole prestane prešmykovať? Môžete predpokladať, že toto sa stane ešte predtým, ako spadne zo stola, a že guľa pri stŕhaní obrusu neposkakuje. Polomer gule je R, hmotnosť M, koeficient trenia o obrus f₁ a o stôl f₂.

FX11 - žľab
Baša si na záhrade postavila dlhý žľab na odvod vody. Jeho šírka je b a sklon α. Keď sa raz rozpršalo, v žľabe tiekla voda prúdom o výške h (meranej kolmo na dno žľabu). Aký bol prietok vody žľabom, ak jej prúdenie považujeme za laminárne? Môžete predpokladať h << b.
Poznámka: Pri riešení tohto príkladu odporúčame naštudovať si aspoň základy o viskozite kvapalín.

FX12 - rebrík
Juro si na chate postavil rebrík z rezistorov s odporom R. A to nie hocijaký, dokonca dvojitý a nekonečný, tak ako na obrázku.
a) Vypočítajte odpor medzi bodmi A a C.
b) Vypočítajte odpor medzi bodmi A a B, ak sú body A a C vodivo spojené (vodičom s nulovým odporom).
c) Vypočítajte odpor medzi bodmi A a B.

FX13 - kolieska
Marcel sa rád hrá s kolieskami. Minule vzal dve homogénne kolieska s hmotnosťou M a polomerom R a pripojil ich na opačné konce spoločnej ľahkej osky tak, aby sa mohli otáčať nezávisle od seba. Potom toto čudo položil na vodorovnú podložku a kolieska roztočil tak, aby sa oska otáčala uhlovou rýchlosťou ω okolo zvislej osi prechádzajúcej jej stredom. Aká je celková kinetická energia tohto čuda, ak kolieska neprešmykujú?

FX14 - pinkačka
Jano chce poraziť Jura v squashi a tak poctivo trénuje. Minule si napríklad zohnal loptičku s hmotnosťou m a škatuľu tvaru kvádra s hmotnosťou M >> m. Potom kopol do škatule tak, aby sa šmýkala po zemi rýchlosťou v smerom kolmo na stenu, a do jej dráhy položil vo vzdialenosti D od steny nehybnú loptičku. Vypočítajte do akej najmenšej vzdialenosti od steny sa krabica dostane. Trenie škatule aj loptičky o zem považujte za nulové, všetky zrážky za dokonale pružné, a predpokladajte, že krabica sa neotáča (celý pohyb loptičky sa deje na jednej priamke kolmej na stenu). Odpoveď stačí do prvého rádu v m/M.

FX15 - čiara
Keď bola Marcelka na prednáške, Janka jej zo stavebnice s nábojmi zobrala dva rovnaké kladné náboje o veľkosti Q a priblížila ich do vzdialenosti d od seba. Potom si nakreslila siločiaru, ktorá vychádzala z jedného z týchto nábojov pod uhlom α ku spojnici oboch nábojov. Do akej najmenšej vzdialenosti od roviny symetrie nábojov sa táto siločiara dostane?

FX16 - družica
Peťo vyniesol do vesmíru svoju obľúbenú družicu. Družica sa dlho túlala hlbokým vesmírom a dostala sa až do vzdialenosti d od Zeme, keď jej začalo byť smutno a začala vysielať rádiový signál s frekvenciou f. Kubo si chcel naladiť rádio na Peťovu družicu, a tak sa začal zamýšľať nad nasledujúcimi problémami.
(a) Akú frekvenciu signálu družice nameria Kubo, ak sa družica pohybuje (hoc i veľkou) rýchlosťou v smerom od Zeme?
(b) Akú frekvenciu signálu družice nameria Kubo, ak družica stojí, ale vesmír sa rovnomerne rozpína tak, že vzdialenosť medzi družicou a Zemou sa v čase vysielania zväčšuje rýchlosťou v? Rovnomerné rozpínanie vesmíru v tejto úlohe znamená, že objektívna vzdialenosť medzi každými dvoma bodmi sa zväčšuje konštantnou rýchlosťou, pričom v každom momente je rýchlosť vzďaľovania sa dvojice bodov priamo úmerná vzdialenosti týchto bodov.

FX17 - optika
Maťo si minule kúpil optické vlákno dĺžky L a konečne si svoj počítač na intráku pripojil priamo ku serveru FKS. Jadro optického vlákna je dlhý valec polomeru r vyrobený zo skla s rôznymi prímesami tak, aby sa rýchlosť šírenia svetla v ňom zvyšovala lineárne so vzdialenosťou od jeho osi. Index lomu v strede je n₁, na kraji n₂. V strede jednej jeho podstavy je bodový zdroj svetla, ktorý vyšle krátky svetelný impulz. Akú dĺžku trvania bude mať impulz prijatý na druhom konci optického vlákna? Rádové zanedbania sú prípustné, typické hodnoty veličín sú L = 1 km, r = 20 μm, n₁ = 1.445, n₂ = 1.44.

FX18 - numerika v skúmavke
Evka sa na biológii rada hrá so skúmavkami, minule napríklad do skúmavky tvaru valca s polomerom 1 cm naliala vodu a pozorovala, aký tvar bude mať jej povrch. Nájdite kontaktný uhol medzi povrchom vody a sklom, tiež nájdite celkové prevýšenie hladiny vody na kraji a v strede skúmavky, a nakreslite tvar jej povrchu. Povrchová energia rozhrania voda-vzduch je 70 mJ.m^-2, energia rozhrania voda-sklo 40 mJ.m^-2 a energia rozhrania sklo-vzduch 100 mJ.m^-2. Číselné výsledky úplne stačia.