FX - ročník štvrtý

Výsledková listina FX po tretej sérii:

Zadania všetkých príkladov štvrtého ročníka:

FX1 - zrkadlá
Polopriepustné zrkadlo s priepustnosťou α (kde 0<=α<=1) je také zrkadlo, na ktoré ak (z ľubovoľnej strany) zasvietime lúč s intenzitou I, prepustí lúč s intenzitou αI a odrazí lúč s intenzitou (1-α)I.
a) Filip zobral zrkadlo s priepustnosťou α₁ a hneď zaň postavil rovnobežné zrkadlo s priepustnosťou α₂. Koľko svetla prepustí táto dvojica zrkadiel, ak na ňu spredu zasvietime lúč s intenzitou I? Čo ak zasvietime zozadu?
b) Vlado sa nenechal zahanbiť, vytiahol všetky polopriepustné zrkadlá čo našiel v pivnici, a tiež ich postavil pekne za seba. Jeho zrkadlá majú priepustnosti α₁, α₂, ..., α_n, v tomto poradí. Ako sa bude správať táto sústava?

FX2 - asteroid
Azag sa hral so svojím novým ďalekohľadom, keď zrazu spozoroval pohybujúci sa asteroid. Azag zistil, že tento asteroid sa práve nachádza vo vzdialenosti d od Slnka, jeho okamžitá rýchlosť je v, a smer jeho rýchlosti zviera uhol α so spojnicou asteroid-Slnko. Aká je jeho perióda obehu okolo Slnka?

FX3 - pružinky
Samo našiel N rovnakých teliesok s hmotnosťou m, N+1 pružiniek s tuhosťou k, a jednu priamku. Pružinky teda pospájal za seba na priamku a medzi každé dve nasledujúce upevnil jedno teliesko. Začiatok prvej pružinky a koniec poslednej pevne zafixoval, ale telieska nechal voľne pohybovať po danej priamke. Na obrázku (v .pdf verzii) vidíte nákres situácie pre N=2:
a) Určte periódu všetkých harmonických pohybov, ktoré môže sústava vykonávať, pre N=2.
b) Určte periódu všetkých harmonických pohybov, ktoré môže sústava vykonávať, pre N=3.
c) Kvalitatívne popíšte, čo sa bude diať pre väčšie hodnoty N.

FX4 - most
Katka si medzi poličkou a stolom postavila most. Most je tvorený ľahkými tyčami voľne spojenými kĺbmi, tak ako na obrázku (obrázok v .pdf verzii). Dĺžky šikmých a vodorovných tyčí sú v pomere 5:6. V bode E je zavesené závažie s hmotnosťou m. Ktoré tyčí môže Katka nahradiť ohybnými väzbami, t.j. napríklad pevným špagátom rovnakej dĺžky? Akou silou je namáhaná tyč BD?

FX5 - puding
Lenka navarila dva hrnce pudingu: jeden vanilkový a jeden čokoládový. Vanilkový puding má tepelnú kapacitu C₁ (nie mernú, t.j. už v J/K) a teplotu T₁, čokoládový má kapacitu C₂ a teplotu T₂. Koľko najviac energie vo forme makroskopickej práce z nich vie vyťažiť? (Puding pri tom nezje. Počítajte rýchlo, kým nevychladne!)

FX6 - zábavné fotóny
Halucinka našla na povale zopár fotónov vo veľmi dobrej nálade. Jej obľúbený elektrón je už niekoľko dní smutný a nehybne stojí na mieste, rozhodla sa ho teda obveseliť: poslala k nemu usmievavý fotón s vlnovou dĺžkou λ. S potešením zistila, že po tomto stretnutí sa elektrón predsa len začal pohybovať. Vyslaný fotón sa však pri stretnutí odchýlil od pôvodného smeru o uhol θ a zmenil svoju vlnovú dĺžku. Ako závisí nová vlnová dĺžka λ' fotónu a kinetická energia E elektrónu od uhlu θ? Do rozbehnutého elektrónu po čase narazil druhý fotón. Po tejto zrážke zostal elektrón znova smutne stáť a fotón sa odchýlil do smeru, v ktorom sa pôvodne pohyboval prvý fotón. Aká je vlnová dĺžka odlietajúceho fotónu? Nezabudnite, že rýchlosť elektrónu medzi zrážkami môže byť relativistická.

FX7 - mesiac
Koľkonásobne silnejšie žiari Mesiac v splne než v prvej štvrti?
Uvažujte Lambertovský model rozptylu svetla na mesačnom povrchu.

FX8 - ruský sud
Fajo zháňal na trhu sud, do ktorého bude dávať jablká na pálenku. Jeden obchodník mu ponúkal veľmi zvláštny sud. Mal tvar valca, jeho podstavy boli z pevného kovu. Plášť je však vyrobený z pružnej gumovej látky, do ktorej sú votkané tenké ohybné a neroztiahnuteľné vlákna tak, ako na obrázku. (viď .pdf verziu) Fajo sa hneď začal zaujímať, čo sa stane, ak do sudu natlakujeme vzduch. Ktorý z troch tvarov na obrázku zaujme sud v závislosti od uhla α?

FX9 - enterprise
Cez vianočné prázdniny sa Marcel každoročne vracia z internátu domov. Keďže doma nemá internet, väčšinu času trávi hraním počítačových hier a pozeraním seriálov. Naposledy napríklad dal za jeden deň toľko dielov Star Trek-u, že mal sen, v ktorom bol na palube vesmírnej lode Enterprise. Tá sa práve nachádzala v časti vesmíru, odkiaľ bolo vidno hviezdy na oblohe rozmiestnené rovnomerne, t.j. tak, že počet hviezd na priestorový uhol dN/dΩ=ρ bol približne konštantný.
(a) Aké rozdelenie hviezd by na lodi pozoroval, keby sa vzhľadom na predošlú sústavu pohyboval dopredu rýchlosťou v?
Predstavte si, že by sme namiesto hviezd mali na oblohe monochromatické zdroje svetla s frekvenciou f s celkovým výkonom P
(b) Ako sa zmení frekvencia svetla v pohybujúcej sa sústave v závislosti od smeru, ktorým sa Marcel pozerá?
(c) Čo vieme na základe častí (a) a (b) povedať o zmene hustoty žiarivého výkonu Π=dP/dΩ hviezdneho pozadia?

FX10 - plochá zem
Je všeobecne známe, že Zem je guľa s polomerom R. Kedysi si však ľudia mysleli, že Zem je nekonečná homogénna platňa s hrúbkou h. Zistite, aká by musela byť táto hrúbka h, aby bolo na "plochej Zemi" rovnaké gravitačné zrýchlenie, ako je teraz. Predpokladajte, že hustota "plochej Zeme" by bola rovnaká, ako je priemerná hustota Zeme teraz.

FX11 - ladenie gitary
Tina sa učí hrať na gitare. Okrem jej podmanivého zvuku ju však zaujala aj skutočnosť, že keď si gitaru naladí v teple domova a potom s ňou vyjde von do chladnej zasneženej noci, gitara už neladí. Aby ste Tine vysvetlili, ako je to možné, tak
(a) odvoďte vlnovú rovnicu pre strunu;
(b) nájdite závislosť základnej frekvencie struny v závislosti od jej predĺženia ΔL;
(c) zistie, ako sa zmení základná frekvencia struny, ak s gitarou zájdeme do treskúcej zimy s teplotou o ΔT menšou.
Struna má dĺžku L=0,8 m (jej časť na kobylke zanedbávame), priemer d=0,6 mm, je zhotovená z ocele s hustotou ρ = 8000 kg/m^3, modulom pružnosti E = 220 GPa a tepelnou rozťažnosťou α = 11.10^-6 K^-1 a na začiatku hrá s frekvenciou f₀.

FX12 - inžinierina na via ferrate
Máme oceľové lano dĺžky L = 20 m, prierezu S = 1 cm^2, s medzou pevnosti σ_t = 1 GPa, hustotou ρ = 8000 kg/m^3 a modulom pružnosti E = 220 GPa. Má slúžiť na zaistenej ceste v horách (t.j. na "via ferrate") pre odvážneho feratistu na prelez ponad roklinu. Aby mohol byť takýto most uznaný bezpečným, tak napätie v lanách nesmie prekročiť 10-tinu medze pevnosti lana, ak je feratista s hmotnostou m = 80 kg v strede lana. Určte, akú najširšiu roklinu vieme pomocou tohoto lana prekonať za dodržania predpisov! Straty hmotnosti feratistu v dôsledku fyziologických prejavov strachu môžete zanedbať.
Či sa tejto úlohy zhostíte analyticky, numericky alebo experimentálne, to ponechávame na vás.

FX13 - kladky
Tinka našla v pivnici obrovskú kopu lana a kladiek, preto sa rozhodla postaviť si kladkostroj. Ba dokonca dva! Jeden krajší ako druhý, ako to vidno na obrázkoch. Aké budú zrýchlenia jednotlivých telies po uvoľnení kladiek? Hmotnosti všetkých kladiek i lana sú zanedbateľné, počet kladiek na pravom obrázku považujte za nekonečne veľký.

FX14 - účinný kompost
Judita sa rozhodla využiť teplo kompostoviska vo svojej záhradke na dobročinné účely. S tým zámerom si postavila dva vratné stroje periodicky pracujúce podľa dejov ABD a BCD. Pracovnou látkou je vzduch, pretože je lacný. Aký je pomer účinností týchto dejov?

FX15 - guľky
Peťo rozostavil do medzihviezdneho priestoru 2009 všakovakých kovových guliek. Guľky nabil nábojmi q, -2q, 3q, ..., -2008q a 2009q, pričom q je kladné. Dokážte, že aspoň jedna z guliek má na celom svojom povrchu kladnú hustotu náboja!